דריי טירן, איין קאר, און א פארום וואס קען נישט שלאפן

לו יצוייר איינער ווייזט מיר דריי טירן (#1, #2 און #3) און זאגט מיר אז אונטער איין טיר איז דא $10,000 און אונטער די צוויי אנדערע איז ליידיג. אויב עפן איך אויף די טיר צו די $10,000 איז עס מיינע. איך זאג אים אז איך גיי עפנען טיר #1. אבער נאך פאר איך עפן אויף די טיר, גיט ער אן עפן אויף טיר #3 און ווייזט מיר אז אונטער דער טיר איז ליידיג. איז יעצט די שאלה זאל איך בלייבן מיט מיין אלטע אויסוואל פון טיר #1 אדער האב איך מער שאנסן צו באקומען די $10,000 אויב טויש איך צו טיר #2?

במשקל הראשון וואלט איך געזאגט אז עס איז לכאורה זיכער אונטער טיר #1. ווייל אויב עס איז נישט דארטן, וואס האט אים אויסגעפעלט צו עפענען טיר #3 נאכדעם וואס איך האב שוין מחליט געווען צו עפענען טיר #1.

אבל לאחר העיון איז דא א סברא פונקט פארקערט, יענער וויל אז דו זאלסט נישט טוישן דיין מיינונג און עפנען טיר #2 ממילא ווייזט ער אז האסט טאקע גוט צוגעטראפן אז עס איז נישט אונטער #3, און וועל טאקע אויס #1, איי אפשר מאכט ער אויך דעם זעלבן חשבון, אלא מאי עס ליגט טאקע אונטער טיר #1 און ער וויל נאר איך זאל טראכטן אז עס ליגט נישט דא און איך זאל עפענען טיר #2, וחוזר חלילה כגלגל החוזר וכו'.

ער האט געעפענט טיר 3 כדי זאלסט מיינען אז ער וויל אז דו זאלסט טוישן, און ממילא וועסטו בלייבן ביי טיר איינס.

אבער לעצם השאלה, לאז ארויס די נגיעה פונעם ווייזער, לו יצויר אז ער האט נישט קיין נגיעה אויב דו געווינסט אדער נישט, וואס איז די פראבאביליטי אז טיר איינס איז ריכטיג, און וואס איז די פראבאביליטי אז ס'איז נישט ריכטיג?

למשל, די טיר האט זיך געעפנט פון זיך אליינטס? פריער איז געווען א 33% שאנס אז עס איז אונטער טיר #1 און א 66% שאנס אז עס איז נישט דארט, יעצט איז דא א 50% שאנס אז עס איז יא דארט און א 50% שאנס אז עס איז נישט דארט, ממילא זענען זיכער די שאנסן גרעסער אז דיין אויסוואל איז ריכטיג.

כ'פארשטיי נישט וואס משה געציל שרייבט. ווען אלע טירן זענען פארמאכט האב איך 1/3 שאנס צוצוטרעפן די געלט. איינמאל די טיר איז אפן האב איך 50% שאנס אז עס איז אדער אונטער #1 אדער אונטער #2 אלזא פארוואס זאל איך בלייבן מיט מיין אויסוואל?

דאס איז די טעות, ווען האט זיך עס געטוישט פון 33.3 צו 50? ס'דא א 1/3 טשאנס אז ס'איז אין טיר #1 און א 2/3 שאנס אז ס'איז נישט אונטער טיר #1, נא, ענדיג צו...

עס איז דא א גורל צווישן דריי מענטשן יעדער האט א 1/3 טשאנס אז איך גיי געווינען, איינער פון די דריי צעטליך -נישט מיין- איז ארויסגעפאלן פאר'ן גורל איז דא 1/2 טשאנס אז איך זאל געווינען, ריכטיג? ה"ה בנידן דידן, ווען איך ווייס פאר זיכער אז עס איז נישט אונטער טיר #3 איז די טשאנס אז עס זאל זיין אונטער טיר #1 ארויפגעגאנגען פון 1/3 צו 1/2.

איז וואס קומט למעשה אויס? לויט משה געציל איז בעסער אז מ'בלייבט מיט #1 און לויט געפילטע איז וואס?

פארוואס האסטו מתחילה מחליט געווען אז עס ליגט אונטער טיר איינס, סתם צו פראבירן דיין מזל? גלייכטס שטארק דעם ציפער איינס? איך זע נישט קיין סיבה פארוואס עס זאל טוישן דיין באשלוס יעצט אז דו ווייסט אז עס ליגט נישט אונטער טיר דריי.

אקעי, איינס איז נאר א משל. די פוינט איז: איך האב אויסגעקליבן איין רענדאם טיר (לצורך משל: #1), דער געלט-טיילער עפנט אויף איינע פון די צוויי אנדערע טירן (לצורך משל: #3) און ווייזט מיר אז אונטער יענער טיר איז גארנישט דא, און גיט מיר די אפציע פון טוישן מיין פריערדיגע אויסוואל. זאל איך נעמען די אפציע און טוישן אדער בלייבן מיט דער אלטער אויסוואל? וועלכע האט יעצט מער שאנסן צו האבן די געלט אונטער זיך?

איך מיין ס'נישט דומה צו א גורל, ווי די צעטליך זענען אויסגעמישט, שטעל דיך פאר ס'דא דריי צעטליך, קאר, ציגעלע, און ציגעלע, אויף דריי עקסטע טישן, דו וועלסט אויס טיש נומער איינס, וואס זענען די שאנסן אז דו האסט געוועלט א צעטל וואס שטייט קאר? איינס אין דריי, וואס זענען די שאנסן אז דו האסט געוועלט א צעטל וואס שטייט ציגעלע? צוויי אין דריי, אזוי אויך וואס זענען די שאנסן אז דו האסט נישט אויסגעוועלט קאר און דער קאר צעטל ליגט אויף איינער פון די אנדערע טישן? אויך צוויי אין דריי, קומט אויס אז אויב בלייבסטו ביי טיש נומער איינס האסטו ווייטער אן איינס אין דריי שאנס, אבער טאמער טוישסטו צו צוויי האסטו א צוויי אין דריי שאנס.

די פראבאביליטי פון פריער טוישט זיך נישט פון שפעטערדיגע געשעהנישן.

יידל, פרעג נישט וואס געפילטע האלט ווייל כ'האב דאס נישט אליין אויסגעפיגורט, און איך האב עס אויך נישט אינגאנצן ארויס, אפשר קענסטו עס בעסער מסביר'ן.

איך האב פארשטאנען אז עס איז נאר לצורך המשל, ווען איך האב געשריבן איינס האב איך אויך נאר געמיינט לצורך המשל און נישט אז דו גלייכסט דעם ציפער איינס מער.

אבער לגוף השאלה, איז די שאלה דוקא אין אזא פאל ווען איינער מיט א נגיעות האט געעפנט די טיר און ער זאגט דיר אז דו קענסט טוישן דיין אויסוואל, אדער ווי געפילטע האט עס אראפגעלייגט אן דעם וואס איינער האט זייטיגע אינטערעסן?

כוונתי בראשונה איז געווען אזוי ווי געפילטע, אז דער יעניגער האט נישט קיין זייטיגע אינטערעסן (פשוט ווייל מיר אינטערעסירט מער דער מאטעמאטישער חלק און נישט דער סברא'דיגער חלק).

איך בין נישט זוכה צו פארשטיין דעם צד אז די טשאנסן זענען געבליבן ווי פריער, אז יעצט איז דער מדובר צווישן צוויי טיהרן האט יעדער פון זיי א פופציג פראצענט טשאנס, ניין?

געפילטע, כ׳מיין אז דו רעדסט מער פילאזאפיש, אודאי ווערט זיין ערשטע בחירה אין טיהר איינס נישט געטוישט למפרע, אבער ווען ער איז יעצט נאכאמאל בוחר אין איהר האט ער פופציג פראצענט אויף זיין זייט.

והגע בעצמך, אויב גיבסטו טיהר איינס ווייניגער ווי פופציג, וואו לייגסטו די איבריגע פראצענטן יעצט אז טיהר דריי איז אוועקגעפאלן?

די פראצענטן פון טיר דריי גייען צו טיר צוויי.

וואס הייסט די פראצענטן פון טיר דריי גיין צו צוויי? ווען דו האסט ווען לכתחלה נאר אן אויסוואל פון צוויי טירן איז פשוט אז ביידע האבן א פופציג פופציג טשאנס, וואס איז אנדערשט ווען עס איז געווען דריי טירן און איינס איז ארויסגעפאלן?

יא יא, כ'האב אבער נישט געוואלט לינקען און אזוי ארום אוועקגעבן דעם תירוץ, אבער אויב שוין יא, לאמיר פראבירן מסביר'ן אויף אידיש.

לאמיר דאס אנקוקן אביסל אנדערש, גלייך אנהויב געים ווען דו האסט געפיקט #1, איז דא א 33% שאנס אז דו האסט אויסגעוועלט די קאר, און א 66% שאנס אז דו האסט אויסגעוועלט א ציג, יעצט עפענט דער חברה'מאן אויף די טיר צו אנטפלעקן א ציג הינטער איר.

יעצט איז דא צוויי אפציעס, טוישן, און בלייבן.

אויב בלייבסטו ביי דער זעלבער טיר, און דו טוישט נישט, מאכט שוין נישט קיין חילוק וועלכע ער עפענט, און וועלכע נישט, ווייל דו בלייבסט דאך סייווי ביי דער ערשטער טיר, און דו בלייבסט מיט דיינע 33% פראצענטן צו געווינען דעם קאר.

קומט אויס אז אויב האסטו די ערשטע מאל געפיקט די קאר, אן איינס אין דריי פראבאביליטי, דאן בלייבסטו מיט די זעלבע שאנס שפעטער.

טאמער אבער דו טוישט יא, וואס איז אויב דו פיקסט די קאר די ערשטע מאל, (אן איינס אין דריי פראבאביליטי), דאס ווען דו וועסט טוישן, וועסטו אנקומען צו א באבערדעלטן ציגעלע, טאמער אבער וועלסטו אויס א ציגעלע צום ערשט, (א צוויי אין דריי שאנס, 66.6%), דאן וועט דער חברה'מאן עפענען די טיר צום אנדערן ציגעלע, און אז דו וועסט טוישן וועסטו באקומען די קאר.

היוצא לנו מכל זה איז אז דורך טוישן האסטו א 66.6 פראצענט שאנס אהיימצופארן מיט א נייעם קאר.

א דאנק פאר'ן ערקלערן דעם מערקווירדיגן פאראדאקס. איך מיין אבער אז דאס איז נאר אן אילוזיע, ווייל באמת איז נישטא עכט קיין שאנסן פאר יעדע טיר, כלפי שמיא גליא אז דער קאר איז אונטער דער ספעציפישער טיר וואו עס איז 100% שאנס, און אונטער די אנדערע צוויי טירן איז 0% שאנס, די שאנסן וואס מיר נוצן איז נאר פאר דעם מענטש וועלכער ווייסט נישט וואו דאס איז. ממילא ווען די סיטואציע פון 'נישט וויסן' האט זיך געטוישט, מוז ער ריעוועליועיטן דעם חשבון. איז דער ענטפער ריכטיג?

דאס דערמאנט מיר די פראבלעם פון כל דפריש מרובה פריש ביים גורל פון אויסלייזן די לוויים אנשטאט די בכורים אין פרשת במדבר א גאנצע מהפיכה אין די מפרשים, ווייל עס איז געווען מער בכורים ווי לוויים און 300 (עפעס אזוי) האבן געדארפט געבן געלט פדיון, און די אנדערע 22000 האבן געהאט א לוי, האט מען געמאכט א גורל ווער באקומט א לוי און ווער דארף צאלן, האט מען געלייגט 22000 צעטלעך "לוי" און 300 צעטלעך "פדיון" ווערט די שאלה דער ערשטער מענטש האט סאך מער טשאנסן (יודיש?) צו ארויסנעמען א לוי ווי א פדיון ווייל כל דפריש מרובה פריש וכו' איך לאז איבער פאר אונזערע גאונים צו גיין ווייטער

גלות יוד, איך מיין אז יעדער האט מער שאנסן צו ארויסנעמען א לוי צעטל ווי א פדיון צעטל, נישט נאר דער ערשטער.

טשענסעס אויף אידיש איז שאנסן.

ס'נישט קיין אילוזיע, קאמפיוטער סימיולעישענס איבערגעשפילט מערערע מאל האבן אויפגעוויזן אז ס'איז פאקטיש אזוי.

צו אילוסטרירן לאמיר געבן נאך צוויי דוגמאות.

1) אנשטאט דריי טירן לאמיר זאגן אז ס'דא מאה שערים, הונדערט טירן, ווען דער שפילער וועלט אויס איין טיר האט ער אן איין פראצענט שאנס צו געווינען דעם קאר, יעצט גייט דער בעל הטירן אויפמאכן 98 טירן און איבערלאזן נאר טיר נומער #77 פארמאכט, אלע 98 אנטפלעקן ציגן, יעצט איז די שאלה אויב דער שפילער זאל טוישן צו #77 אדער בלייבן מיט זיין איין פראצענטיגע #1 טיר.

2) לאמיר רעדן פון א קארד געים, די Ace of spades איז אנשטאט די קאר, און דערנאך איז דא צוויי פשוטע קארטליך, צוויי רויטע צוויי'ס, מ'מישט אויס די דריי קארטלעך, און מ'געבט איין קארטל פאר'ן שפילער, מיט'ן פנים אראפ, דער שפילער ווייסט נישט וואס פאר א קארטל ער האט באקומען, יעצט נעמט מען אוועק פון די צוויי געבליבענע קארטלעך איין רויטע צוויי, און מ'קוקט ווי ס'דא א בעסערע שאנס די Ace of Spades זאל זיין, גיי אוועק פון קאווע שטיבל א מינוט, נעם ארויס די קארטליך, (אדער קען זיין זיי זענען נאך אינדרויסן פון חנוכה) און שפיל דאס איבער א צען צוואנציג מאל און קום צוריק און זאג מיר די ריזאלטס. שאנסן זענען אז די עיס אוו ספעידס איז דאס לעצטע קארטל צו בלייבן ביים דיעלער און נישט דאס ערשטע קארטל וואס מ'האט געגעבן פאר'ן שפילער.

אויב מאטעמאטישע איקוועיזשענס פארשטייסטו בעסער דאן דאס איז די קאלקיולעישען וואס ווייזט אויף אז טוישן האט א 2/3 שאנס צו געווינען די קאר.

(זארגט נישט, איך פארשטיי עס אויך נישט)

יא געפילטע דאס איז דער ריכטיגער תירוץ, און ס'ביי מיר געווען פשוט אז דו ביסט נישט אליינס אויפגעקומען דערמיט ווייל ריזיגע פיזיקער און מאטעמאטיקער האבן זיך אויך טועה געווען דערין און זיי האבן נישט געקענט מודה זיין אין דעם ריכטיגן תירוץ אפילו נאכדעם וואס עס איז אויפגעוויזן געווארן שווארץ אויף ווייס. געוויסע האבן אפילו געשריבן קאמפיוטער פראגראמען און זענען געווען שאקירט אז די פראגראם האט אויך געוויזן אז געפילטע פיש איז גערעכט! (דער ריכטיגער תירוץ איז צום ערשט געענטפערט געווארן דורך מארילאן וואן סעווענט די פרוי מיט דעם גרעסטן איי-קיו אין דער וועלט פון 1986 ביז 1989, לויט גינעס ווארלד בוק אף רעקארדס. אין 1990 האט די גינעס ווארלד בוק מער נישט דאקומענטירט דעם מענטש מיט דעם גרעסטן איי-קיו זאגנדיג אז אן איי-קיו טעסט איז נישט קיין ריכטיגע מעסטער פון א מענטש'ס קלוגשאפט.)

די מאנטי האל פאראדאקס איז א חידה וואס דער תירוץ דערויף איז פונקט פארקערט פון וואס דער שכל זאגט. דער שכל (סברא) זאגט אז ווען מ'קלויבט אויס טיר נומער #1 איז עס א 33% שאנס פון געווינס און 66% שאנס פון פארלוסט. דערנאך ווען דער געלט-טיילער עפנט אויף טיר #3, ווערן די שאנסן אייניג צעטיילט צווישן טיר #1 און טיר #2 דערפאר דארף לכאורה אויסקומען אז מ'פארדינט גארנישט פון טוישן און טיר איינס האט די זעלבע שאנסן ווי טיר צוויי. עד כאן וואס סברא זאגט, און נישט נאר מיין און משה געציל'ס סברא נאר אויך די גרעסטע קעפ אין מאטעמאטיקס.

דער ריכטיגער תירוץ איז אבער אז די שאנסן פון טיר #1 בלייבן ביי 33% אבער די שאנסן אז די געלט ליגט אונטער טיר #2 זענען 66%! ווי איז דאס מעגליך? פאר מיר וועלן זען דעם הסבר, דארף מען דאס אויפווייזן. לאמיר זען אלע מעגליכקייטן וויאזוי ס'שייך די געלט מיט די ליידיגע טירן זאלן זיין אויסגעשטעלט (אגב, די אריגינעלע פראגע איז אויסגעשטעלט מיט א קאר און צוויי ציגן, כ'האב עס במכוון פארדרייט כדי אז געניטע גוגל'ערס זאלן נישט כאפן די מעשה, אבער מה נעשה אז מיר האנדלן דא מיט באנעפייד חכמים און נישט בלויז גוגל-חכמים...)

אופן א: טיר #1 - געלט; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - ליידיג

אופן ב: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - געלט; טיר #3 - ליידיג

אופן ג: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - געלט*

*(פארשטייט זיך אין אופן ג האט דער געלט געבער געעפנט טיר 2 און נישט די טיר מיט די געלט)

אין אנדערע ווערטער, די געלט מוז ליגן אונטער איינער פון די דריי טירן. יעצט לאמיר באטראכטן יעדן פאל באזונדער און זען וואס וואלט פאסירט ווען מ'בלייבט מיט טיר #1 און וואס וועט פאסירן ווען מ'טוישט צו טיר #2:

אופן א: בלייבן = געלט; טוישן = ליידיג

אופן ב: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

אופן ג: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

לויט דעם קומט אויס אז אויב בלייבט ער איז דא 66% שאנס ער זאל זיך טרעפן ביי א ליידיגע טיר און בלויז א 33% שאנס ער זאל באקומען די געלט. משא"כ אויב טוישט ער איז דא א 66% שאנס ער זאל טרעפן די געלט און בלויז א 33% שאנס אז ער זאל זיך טרעפן ביי א ליידיגע טיר.

וואס איז דער הסבר אז עס איז טאקע אזוי? עס זענען דא אפאר וועגן וויאזוי דאס מסביר צו זיין, איך האב די מערסטע געגליכן און פארשטאנען סעסיל עדעמס הסבר (און אגב, ער האט אויך קודם זיך טועה געווען אבער ער פארענטפערט זיך אז ער האט אויך אפגעלערנט די שאלה אזוי ווי משה געציל, אז דער געלט-טיילער וויל דא פאר'נער'ן דעם טיר-עפענער, און עדעמס טענה'ט אז אין אזא פאל זענען די שאנסן יא 50-50.

זאגט ר' סעסיל אזוי: לו יצוייר מיר האבן די זעלבע דריי טירן און אונטער איינע פון זיי באהאלט זיך די געלט. דו קלויבסט אויס טיר #1. יעצט זאגט דיר דער געלט-טיילער אז דו האסט די פאלגענדע אפציע: אדער בלייבסטו מיט טיר #1, אדער קענסטו עפענען טיר #2 און #3 צוזאמען. וועלכע האט מער שאנסן? אודאי די צווייטע אפציע! וועלכער נאר וואלט ווען נישט אויסגעקליבן אפציע נומער 2? די מאנטי האל פראגע איז בעיסיקלי די זעלבע זאך. דער געלט טיילער זאגט דיר, דו קענסט דיך האלטן מיט דיין טיר אדער קענסטו אויסקלויבן נאך צוויי טירן, איינס פון זיי האט זיכער נישט די פרייז וועלכע איך וועל עפענען פאר דיר.

אן ענליכער הסבר:

ווען דו קלויבסט אויס טיר נומער איינס, איז דא א 1/3 מעגליכקייט אז די געלט איז דארט. דאס מיינט אז די מעגליכקייט אז עס ליגט אונטער 2 און 3 איז 2/3 (דאס הייסט אויף צוויי און דריי קוק איך צוזאמען יעצט וויבאלד קעגן דער איין טיר וועלכע דו האסט יא אויסגעקליבן זענען זיי א גרופע פון צוויי טירן וואס דו האסט נישט אויסגעקליבן און די מעגליכקייט אז עס ליגט אונטער דער גרופע טירן איז 2/3). דאס מיינט אז עס איז 66% אז די געלט ליגט אונטער טירן 2-3.

ווען דער געלט טיילער עפנט אויף טיר #3 מיינט אז דער טיר-עפענער האט באקומען א ניי שטיקל אינפארמאציע נעמליך, אז אונטער טיר נומער 3 איז עס נישט. ווען דער טיר-עפענער מאכט יעצט א פשוט'ן חשבון ווי פאלגנד:

די מעגליכקייט אז די געלט איז נישט אונטער טיר #1 (און יא אונטער טירן 2-3) איז 2/3 - 66%.

דער פאקט איז אז אונטער טיר #3 איז עס נישט.

אז מ'שטעלט צוזאם די צוויי שטיקלעך אינפארמאציע איז דער סך הכל קלאר: די העכסטע שאנסן זענען אז די געלט ליגט אונטער טיר #2.

פאר מער איבער דעם הסבר, און נאך אפאר וועגן וויאזוי מסביר צו זיין (כולל סעסיל עדעמס' הסבר) ליינט דא.

דאס איז דוכט זיך א מיספארשטענדעניש אין וואס פראבעבילעטי איז. אודאי וועל איך אדער יא באקומען דאס געלט אדער נישט, אבער די מציאות איז אז אויב וועט די געשיכטע זיך איבערשפילן 99 מאל און איך וועל יעדעס מאל טוישן צו טיר #2 וועל איך 66% מאל באקומען דאס געלט און אויב איך וועל נישט טוישן טירן וועל איך נאר 33% פון די פעלער באקומען דאס געלט.

--

געפילטע האקט, מסתמא איז ער קלארער מסביר וואס כ'זאג, לאמיך ליינען.

יישר כח געפילטע און יידל פאר'ן אזוי שיין צונעמען די זאך. וואס איך פארשטיי נישט איז פארוואס קומט נאך די דריטע טיר בכלל אריין דא אין בילד אז מען זאל זאגן אז די פאסעבילדיטיס ווערן נאך אלטס צעטיילט אין חלקים פון דריי.

די סעקונדע וואס דער מאדירעטאר האט געעפנט טיר #3 און א זיס ציגעלע האט זיך אנטפלעקט, איז שוין נתברר געווארן אז אונטער טיר #3 איז נישט דא א קאר. איינמאל דאס איז נתברר געווארן איז שוין בכלל נישט שייך צו צעטיילן די זאך אין דריי נאר אין צוויי, הגם ווען ער האט לכתחלה געוואלט עפענען די טיר איז יא געווען דא א 1/3 דיון, למעשה איינמאל די דריטע טיר איז ארויסגעפאלן פונעם שפיל איז יעצט דא א 1/2 דיון, וואס גייט מיר אן אז בשעת׳ן קלויבן די ערשטע טיר איז געווען דא א דריטע טיר?

פארדעם האב איך געשריבן וועגן ציגעלעך אין מיין תגובה, זאלסט נישט מיינען אז איך מאך מיך כאילו איך בין אליינס אויפגעקומען מיט'ן תירוץ.

א מכה! מיט דיין כח ההסברה קען איך מיך נישט פארמעסטן.

דאס איז טאקע פארוואס ס'שווער צו פארשטיין, אבער מיט דעם הסבר וואס יידל שרייבט איז זיך עס בעסער משבר אויפ'ן אוזן.

יש"כ יידל פאר'ן מסביר זיין דעם ענין. איך פארשטיי אבער נישט דעם הסבר פון סעסיל, ווען איך בלייב מיט דער ערשטער טיר האב איך דאך אויך כאילו געעפנט צוויי טירן, דעם ערשטן מיט'ן דריטן, דארף דאך אויך זיין א 66 שאנס אז עס איז אין איינער פון די צוויי טירן?

נישט בחינם האט דיך געכאפט א בענקעניש צו די ציגעלעך...

איך פארשטיי אז מען רעדט אז ער ווייזט מיר אויך וואס עס געפינט זיך אונטער יענע טיהר [ראה לקמן וואס עס דרוקט מיר בזה].

דאס איז א גזירת הכתוב?

אויב איז מיין בחירה אין טיהר 1 א בחירה נמשכת, און נאך מיין בחירה פון א מינוט צוריק האט מען ארויסגענומען טיהר 3 פונעם ספק, פארוואס זאל מיין יעצטיגע בחירה נישט זיין א ספק - און ממילא שאנס - 50 50 צווישן טיהר 1 און 2?

אגב חריפותך האסטו מקצר געווען, ומקוצר דעת המשיג האביך דעם שטיקל נישט פארשטאנען.

עס שטערט מיר אבער אן אנדער נקודה, וואס וועט זיין אויב דער האוסט עפענט טיהר 3 וואו עס איז דא א ציג, דער גאנצער עולם קען עס זעהן חוץ מיר, מצידי איז עס נאך א ספק צווישן דריי טיהרן, וועט יעדער מודה זיין לכאורה אז עס בלייבט א 33 פראצענט שאנס.

און אויב וויל מען זיך דינגן בציור הנ"ל, טראכטס פון אזא ציור: דער האוסט האט נישט געעפנט קיין שום טיהר, אבער דער מסדר הפראגראם ווייסט אונטער וועלכער טיהר ער האט געלייגט די קאר און אונטער וועלכער די ציגן, וועט עטץ אלע מודה זיין אז דער שפילער האט א 33 פראצענט שאנס? לכאורה יא.

קומט אויס אז דער איינציגסטער שינוי ביי אונזער חקירה איז די ידיעה פונעם שפילער, אז ער איז אויך אריין אינעם קלאב פון די וואוסענדיגע וואס טוהט זיך אפ אונטער טיהר 3, איז ווי אזוי קען א ידיעה בעלמא טוישן שאנסן וואס זענען, לכאורה, א דבר עצמי, א זאך וואס מען קען אויסרעכענען אויף פאפיר וויפיל צדדים איז דא אז ס'זאל זיין כך וכך?

ואולי מיינט דאס החכם יאיר:

-----

דער עולם האקט, איך שיק.

דאס האב איך געמיינט ונבנתה, ומהאי טעמא פארשטיי איך נישט יידל'ס תירוץ צו מיין שאלה.

למעשה זעט מיר אויס אז דאס איז סך הכל א שפיל אויפ'ן ווארט 'טוישן'. ווען מען רעדט פון טוישן אדער בלייבן מיינט מען צו זאגן בלייבן ביים ערשטן אדער קלויבן איינע פון די צוויי: די צווייטע אדער די דריטע. אבער באמת טראכט מער קיינער נישט פונ'ם דריטן, און צווישן דעם ערשטן מיט'ן צווייטן האבן ביידע אן אייניגע פופציג פראצענט שאנס.

איך כאפ נישט מיט וואס עס דערהערט זיך בעסער, ווען איך ווייס נישט וואס עס איז דא אונטער קיין איינער פון די טירן און איך האב די אפציע צו קלויבן צוויי צוזאמען אנשטאט איינס, אוודאי נעם איך די 2/3 אנשטאטס די 1/3. אבער יעצט אז איך ווייס אז טיר #3 האט א ציגעלע פארנעמט נישט די טיר מער קיין 1/3 חלק אינעם שפיל אז טיר #1 זאל ווייטער בלייבן ביים זעלבן 33% שטאפל.

אין דעם לינק וועלכן כ'האב אנגעגעבן איז ער מסביר דעם ענטפער אויף דיין קושיא ווי פאלגנד:

די שאלה מאכט מענטשן טראכטן - בטעות - אז נאכ'ן עפענען טיר דריי בלייבט דער טיר עפענער מיט אן אפציע צווישן צוויי טירן, טיר #1 אדער טיר #2. דאס איז אבער אן אילוזיע. וויבאלד יעדע טיר קומט מיט א "היסטאריע" פון אינפארמאציע, און דאס עפענען טיר #3 גיבט צו גינסטיגע אינפארמאציע לטובת טוישן צו טיר #2, איז דער געדאנק אז עס איז א בחירה בלויז צווישן טיר #1 און #2 נישט ריכטיג. און זיינע ווערטער:

it has to be said that the game scenario is a very cunning one, cleverly designed to lead the unsuspecting player astray. It gives the impression that, after Monty has opened one door, the contestant is being offered a choice between two doors, each of which is equally likely to lead to the prize. That would be the case if nothing had occurred to give the contestant new information. But Monty's opening of a door does yield new information. That new information is primarily about the two doors not chosen. Hence the two unopened doors that the contestant faces at the end are not equally likely. They have different histories. And those different histories lead to different probabilities.

פארוואס אבער טיילט זיך נישט די גינסטיגע אינפארמאציע גלייך אויף גלייך צווישן טיהר 1 און 2?

ווייל טיר איינס האט ער מעיקרא אויסגעקליבן און דאן איז עס געווען 1/3 שאנס. טיר צוויי קלייבט ער אויס נאכדעם וואס ער כאילו באקומט די מעגליכקייט פון עפענען צוויי טירן אויפאמאל.

און אויב וואלט ער מעיקרא גארנישט געקליבן, ער שטייט נאר און באטראכט שטילערהייט אלע דריי טיהרן, פלוצלינג עפענט זיך טיהר 3 און עס באווייזט זיך א ציג, ערשט יעצט טוהט ער זיך אן דאס גארטל און ער גייט בוחר זיין, וועסטו מסכים זיין אז ער האט א 50 50 שאנס? אויב יא, ביי אונזער מעשה, ווי אזוי קען די ערשטע בחירה טוישן די שאנסן פון שפעטער פאר דער איינער סיבה אז ער האט ארויסגעזאגט אפאר ווערטער פון מויל?

ר' ונבנתה דו פארפעלסט די קריטישע נקודה אז אין די מאנטי האל פראבלעם/פאראדאקס האט דער עפענער פון דער טיר געוואוסט צו עפענען די טיר וועלכע האט די ציג אונטער זיך, נישט עס האט זיך פערצופאל געגעבן אן עפן אויף א טיר אונטער וועלכער א ציג איז געווען ודו"ק (ווייל דייקא דעמאלטס העכערט עס די שאנסן בלויז פאר טיר #2).

איך האב אלס געהאלטן אז א שליסל צום ענטפער איז אז דער טיר עפענער האט א ידיעה ווי די קאר ליגט, און באזירט אויף דעם מאכט ער זיין באשלוס צו ער זאל עפענען טיר 2 אדער טיר 3. אויב די קאר ליגט אונטער טיר 2 וועט ער דירעקט נאר עפענען טיר 3, אויב די קאר ליגט אונטער טיר 3, וועט ער דירעקט נאר עפענען טיר 2, אויב די קאר ליגט אונטער טיר 1 וועט ער עפענען אדער טיר 2 אדער טיר 3 אן א ספעציעלער סיבה איינס איבער ס'אנדערע. העט ער ווען אלעמאל געעפענט רענדאמלי א טיר, און צומאל טאקע אנטפלעקט די קאר, וואלט נישט געווען קיין חילוק צו מ'בלייבט מיט דער ערשטער אפציע אדער מ'טוישט. דאס מיינט אז די מעלה פון טוישן איז ווייל דער טיר עפענער האט דיר געגעבן מער אינפארמאציע. דאס עפענען טיר נומער דריי אדער צוויי, און דירעקט אויסמיידן די טיר מיט די קאר מאכט אז די צווייטע טיר האט די 2/3 וועליו.

ענדליך. דאס איז דער שליסל צום פראבלעם. דער עפענער קען נאר עפענען די טיר פון דער ציג, אין אנדערע ווערטער, דאס אז זי האט געעפנט די דריטע טיר און נישט די צווייטע טיר מאכט שטערקער די סברא אז אונטער דער צווייטער ליגט עס. עס צו גרינגער מאכן, שטעל זיך פאר אז עס זענען דא א מיליאן טירן, אונטער אלע זענען דא ציגן אויסער איינע וואו ס'איז דא א קאר. דו כאפסט אן איין טיר, און דו האסט גאר א שוואכע שאנס צו געווינען, איינס אין א מיליאן. יעצט גייט איינער פון דער אנדערער זייט און ער מאכט צו איין טיר נאכ'ן צווייטן, ביז נאר איין טיר (אויסער די וואס דו כאפסט אן) בלייבט פארשפארט. וועסטו אודאי גיין עפענען יענע טיר, ווייל אז ער האט עס נישט געעפנט מסתם ליגט דארט דער קאר. (די טיר וואס דו כאפסט אן קען ער דאך נישט עפענען, ווייל דעמאלט צופאלט דער גאנצער שפיל). דא קענט איר זען אן אילוסטראציע פון דעם הסבר.

----

יואליש האקט

כד הווינא טליא האב איך זיך געטענה'ט מיט א קאזין (צוויי קינדער) פאר וואכן איבער דעם. כ'האב אים נישט געקענט מסביר זיין אז ער זאל עס פארשטיין ביז כ'האב עס אויסגעשפרייט צו 100 טירן בצירוף מיט'ן דעטאל אז דער יעניגער עפענט עס מיט א ידיעה און מאכט זיכער נישט צו עפענען די טיר.

יאיר, האסט עס זייער גוט אפגעשריבן. יידל האט זיך געפעדערט צו מיר, כ'האב פשוט נישט אפגעליינט אלע תגובות.

יאיר, דו בויעסט צופיהל אויף פסיכאלאגיע, יידל האט דאך מוכיח געווען אז דאס איז ריין מאטעמאטיש:

איך האב עס מסביר געווען אויף א פסיכאלאגישן אופן כדי עס זאל זיין גרינגער צו פארשטיין, אבער פאקטיש, אויב וועלן מיר אננעמען אז דער עפענער האט נאר געקענט עפענען איינע פון די צוויי איבערגעבליבענע טירן, און ער האט נאר געקענט עפענען די טיר מיט דער ציג, קומט מאטעמאטיש אויס אז די שאנסן פון דער צווייטער טיר זענען געווארן העכער. עס האט גארנישט מיט דעם וואס דער בוחר האט אויסגעקליבן די ערשטע טיר, עס האט מיט די צוויי אויבנדערמאנטע פאקטן. כאילו עס וואלט אראפגעפאלן א שטיין ביי דער ערשטער טיר וואס דער עפענער קען נישט רוקן, און א צווייטער שטיין אויף דער טיר פארנט פונ'ם קאר.

איך האב עס נאכנישט ארויס, וועל איך עס מוזן איבערשלאפן.

וואו איז דער טיר?

אינעם העברעאישן ויקיפדיה איז עס אסאך בעסער און קלארער אויסגעשריבן, ער רעדט אויך ארום דארט דעם חילוק פונעם שפילער און א גאסט וואס איז אריינגעקומען אינעם זאל נאכדעם וואס מען האט געעפנט די דריטע טיהר.

בתוך דבריו שרייבט ער אפאר שורות, וואס הגם עס פארענטפערט מיר נאכנישט מיינע פראבלעמען, לייגט זיך עס עפעס אפ אין קאפ, וז"ל:

אין אידיש:

יענער האט דאך געעפנט א טיהר וואו עס געפינט זיך א ציג, ממילא צי עס לוינט זיך צו טוישן פון טיהר 1 צו טיהר 2 ווענדט זיך אין וועלכן פרייז דו האסט אויסגעקליבן ווען דו האסט לכתחילה בוחר געווען אין טיהר איינס, אויב ליגט דארט א ציג לוינט זיך צו טוישן ווייל סיי טיהר איינס און סיי טיהר דריי האבן ציגן, אויב אזוי ליגט די קאר אונטער טיהר 2 און מען דארף טוישן, אבער אויב האט טיהר איינס, אין וועמען דו האסט לכתחילה בוחר געווען, א קאר, דעמאלטס ליגט אונטער טיהר צוויי א ציג און עס לוינט נישט צו טוישן.

אויב אזוי דארף מען נאר מברר זיין וואס איז מער מסתבר אז דו האסט בוחר געווען דעם ערשטן מאל, כדי צו וויסן צי עס לוינט זיך צו טוישן, און אזוי ווי דו האסט געהאט א צוויי אין דריי שאנס בוחר צו זיין דעם ערשטן מאל אין א ציג, און נאר אן איינס אין דריי שאנס בוחר צו זיין אין א קאר, קומט אויס אז 2 פון 3 זאגט אז מען דארף טוישן.

יידל'ס חשבון איז ריכטיג אבער מ'דארף נאך אלץ ציקומען צי א טיפערן הסבר. ווייל אויבן אויף איז שווער אז אופן א: קען מען ציטיילן אין צוויי 1: דער געלט געבער עפענט אויף טיר #3 2: ער עפענט אויף טיר #2 (אזוי ווי אופן ג: טוישט פון אופן ב:).

קומט אויס אז ס'איז צוויי געווינען און צוויי פארלוירן.

אבער באמת זענען דא זעקס אופנים

לאמיר עס אנרופן דוגמא א

אופן א: טיר #1 - געלט; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #2

אופן ב: טיר #1 - געלט; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #3

אופן ג: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - געלט; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #2

אופן ד: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - געלט; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #3

אופן ה: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - געלט. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #2

אופן ו: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - געלט. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #3

און די רעזולטאטן וועלן זיין

אופן א: בלייבן = געלט; טוישן = ליידיג

אופן ב: בלייבן = געלט; טוישן = ליידיג

אופן ג: אויס שפיל

אופן ד: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

אופן ה: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

אופן ו: אויס שפיל

קומט אויס אז ס'איז דא 50/50 פראצענט טשאנס

אבער דאס איז נאר ריכטיג ווען דער געלט געבער ווייסט נישט ווי די געלט ליגט, אבער ווי אויבן ארויסגעברענגט רעדט זיך עס דא אז ער ווייסט יא און ער וויל נישט אז די שפיל זאל זיך ענדיגן סא אופן ג: וועט ער זיכער מאכן צי עפענען טיר #3 און די זעלבע ביי אופן ו: וועט ער זיכער מאכן צי עפענען טיר #2

קומט אויס אז מ'וועט עס דארפן אויסשטעלן אזוי

דוגמא ב

אופן א: טיר #1 - געלט; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #2

אופן ב: טיר #1 - געלט; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #3

אופן ג: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - געלט; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #3-ווייל ער וויל נישט די שפיל זאל זיך ענדיגן

אופן ד: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - געלט; טיר #3 - ליידיג. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #3

אופן ה: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - געלט. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #2

אופן ו: טיר #1 - ליידיג; טיר #2 - ליידיג; טיר #3 - געלט. און דער געלט געבער עפענט אויף טיר #2-ווייל ער וויל נישט די שפיל זאל זיך ענדיגן

און די רעזולטאטן וועלן זיין

אופן א: בלייבן = געלט; טוישן = ליידיג

אופן ב: בלייבן = געלט; טוישן = ליידיג

אופן ג: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

אופן ד: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

אופן ה: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

אופן ו: בלייבן = ליידיג; טוישן = געלט

קומט אויס אז מיט'ן טוישן איז דא א צוויי דריטל טשאנס צי געווינען.

אין אנדערע ווערטער אין דוגמא א ווען ער עפענט טיר #3 קען נאר זיין אופן ב: און ד: 50/50 (ווייל אופן ו: ענדיקט די שפיל)

און אין דוגמא ב ווען ער עפענט טיר #3 קען זיין אופן ב: ד: און ו: מיט'ן טוישן איז דא צוויי דריטל טשאנס צי געווינען.

למען האמת, ווען יידל האט געפרעגט די פראגע צום ערשטן מאל האט ער נישט צוגעלייגט די צוויי תנאים אז דער עפענער קען נישט עפענען די טיר וואס דער בוחר האט אויסגעקליבן, אדער די טיר פונ'ם קאר. די צווייטע נקודה קען מען אליין פארשטיין, ווייל מען רעדט דאך דוקא אויף אזא מציאות אז ער האט געעפנט די ציג טיר, אבער די ערשטע נקודה פעלט לגמרי פון דער פראגע, און דעריבער האבן זיך דא מערערע געבראכן קאפ ווי אזוי אן אויסוואל פון א מענטש קען טוישן א מציאות.

זייער שיין שימעלע, פון אלע הסברים איז מיר דיינס דאס מערסטע געפאלן.

חברינו היקר משה געציל שליט"א האט מיר פארגעשלאגן אין אישית אז מיר זאלן פרובירן צו שפילן דעם מאנטי האל שפיל דא אין אשכול און זען די רעזולטאטן. איך בין גרייט עס צו פרובירן און איך וועל אנהייבן מיט ראונד 1.

איך שטעל ארויס דא דריי טירן, און אונטער איינע פון די דריי געפינט זיך א ווירטואלער קאר. עס וועט ארבעטן אין 3 סטעפס:

• סטעפ 1: קלויב אויס א טיר און שיק מיר אריין די אויסוואל אין אישית. (לדוגמא, אויב קלויבסטו אויס טיר 1, שיק מיר אן אישית מיט די ווערטער "טיר 1").

• סטעפ 2: דערנאך וועל איך עפענען א טיר מיט א ציג אונטער איר (אין אנדערע ווערטער, איך וועל צוריקשיקן אן אישית מיט די נומער פון א טיר וואס האט אונטער זיך א ציג), און כ'וועל געבן די אפציע צו טוישן טירן.

• סטעפ 3: די אויסוואל - צו טוישן אדער נישט טוישן- שיק מיר דערנאך אין אישית (לדוגמא, אויב באשלוסטו נישט צו טוישן, שיק מיר אן אישית מיט די ווערטער "איך טויש נישט").

נאך וואס גענוג חברים וועלן שפילן, וועט מען טוהן איינע פון די פאלגענדע אפציעס: אויב וועט זיין אן אייניגע נומער פון חברים וואס האבן אויסגעקליבן יא צו טוישן טירן און נישט צו טוישן טירן דאן וועל איך ארויסגעבן די רעזולטאטן. אויב אבער וועלן נישט זיין קיין אייניגע נומער וואס האבן געקליבן ביידע מעגליכקייטן, וועלן מיר גיין צו ראונד 2 און מ'וועט בעטן יעדן צו טוישן זייער באשלוס פון פריער, דאס הייסט אז אויב מ'האט אין ראונד 1 געטוישט זאל מען יעצט נישט טוישן און אויב האט מען אין ראונד 1 נישט געטוישט זאל מען אין ראונד 2 נישט טוישן.

[פארקירצט]

וואו גייט מען קענען פארן מיט דעם ווירטואלן קאר? איך האף אז נישט אראפ פון וועג.

עס איז א פרי קאנטרי, ע'סט קענען טוהן מיט'ן קאר כל מה שלבך חפץ.

איך פרעג, ווייל איך ווייס אז מיט'ן אינטערנעט אליין קען מען שוין אנקומען צום שאול תחתית. איך קען זיך נישט פארשטעלן וואו מען קען אלץ אנקומען מיט א קאר, אפשר אויף א טריפ צום כף הקלע?

פרעג שוין נישט אזויפיל קושיות, און נעם דיך צום שפיל.

Yeedl I understand that the host, by picking #3 is indeed increasing the chance for #2

but the host also knows whats in # 1 and that's also a trigger if he should open #3 or not in the first place, based on his motives to the receiver.

Unless the game is that he must always open a door after the pick, regardless of what lies behind the door that was picked.

ייש"כ פאר'ן אינטערעסאנטן ארטיקל! אויב געדענק איך גוט איז די נעקסטע וואך צוויי געווען ויכוחים צווישן דעם שרייבער פונעם ארטיקל און ליינער וואס האבן אריינגעשריבן צי ס'מעגליך אדער נישט.

דערווייל האבן שוין 5 חבירים אנטיילגענומען אינעם שפיל. רופט אייך אן ווארעם און נעמט אויך אנטייל!

אקעי, די רעזולטאטן זענען אריין!! מיר האבן געהאט ניין חבירים וואס האבן מיטגעהאלטן.

אין ראונד 1 איז די קאר געווען געפארקט אונטער טיר 2.

• ונבנתה העיר האט אויסגעקליבן 1 און איז געבליבן מיט דער אויסוואל נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 3

• משה געציל האט אויסגעקליבן 3 און איז געבליבן מיט דער אויסוואל נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 1

• שימעלע האט אויסגעקליבן 1 און איז געבליבן מיט דער אויסוואל נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 3

• א חבר האט אויסגעקליבן 3 און איז געבליבן מיט דער אויסוואל נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 1

• אנאנים האט אויסגעקליבן 2 און האט געטוישט צו 3 נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 1

• געפילטע פיש האט אויסגעקליבן 2 און איז געבליבן מיט דער אויסוואל נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 1

• נאך א חבר האט אויסגעקליבן 1 און האט געטוישט צו 2 נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 3

• לאדיך אפ האט אויסגעקליבן 1 און האט געטוישט צו 2 נאכדעם וואס כ'האב געעפנט פאר אים טיר 3

moti107 האט אויסגעקליבן 1 אבער ער האט מיר קיינמאל נישט צוריקגעשיקט צי ער וויל טוישן צי נישט.

מיר האבן למעשה דריי קאר געווינער: געפילטע פיש, נאך א חבר און לאדיך אפ. געפילטע וואלט פארלוירן אויב ער טוישט אבער נאך א חבר און לאדיך אפ האבן געוואונען דייקא ווייל זיי האבן געטוישט. פון דער צווייטער זייט, ונבנתה, משה געציל, שימעלע, א חבר וואלטן אלע געוואונען ווען זיי טוישן ווען יא אבער אנאנים האט פארלוירן דייקא ווייל ער האט געטוישט.

moti107 וואלט ווען געוואונען ווען ער טוישט און ער וואלט ווען פארלוירן ווען ער בלייבט.

בלייבן מיר אזוי: 6 פון 9 (אלע שפילערס חוץ געפילטע און אנאנים) פארדינען פון טוישן בעת נאר 2 פון 9 (געפילטע און אנאנים) פארלירן פון טוישן.

קאנגרעטולאטונס צו די געווינער!

די קאר האב איך שוין, האסט עפעס אנדערש?

די קאר איז געמאכט צו האבן צוויי דערפון.

וואס, ס'צעברעכט זיך אזוי שנעל? שוין זאל זיין, וועלמער רייטן אויף א מאזעראטי פויגל-שטייג.

איך האב שוין כמה פעמים געשריבן אז דאס מוז זיין א ספעציעלע קאר צו אנקומען צום כף הקלע, ווייל מיט'ן אינטערנעט אליין קען מען שוין אנקומען צום שאול תחתית. זיי נישט קיין נאר, געפילטע, כאפ עס מיט ביידע הענט.

יישר כח יידל! דאס טייטשט לאסיקא שמעתתא אליבא דמציאות!

איך האב יעצט צום ערשטן מאל אדורכגעליינט דעם אשכל, עס איז געווען גאר אינטערעסאנט צו זעהן ווי א יעדער פארשטייט דעם פאראדאקס און זיין לעהזונג מיט אן אנדער מהלך. דאס איז דאך פשט אין די 'כך אין דעותיהם שוות'.

איז גם אני אענה חלקי, מיט'ן הסבר ווי עס איז ערקלערט געווארן אינעם פאראדאקס בוך וואס יאיר האט אראפגעברענגט.

לאמיר רעדן פון דעם משל אז עס זענען דא דריי טירן. אונטער איין טיר איז דא א קאר און אונטער די אנדערע צוויי איז דא א ציגעלע. דער שפילער קלויבט אויס טיר נומער איינס, און דערנאך עפנט דער האוסט אויף טיר נומער צוויי און צייגט אז דארט איז דא א ציגעלע. יעצט האט דער שפילער די ברירה צו בלייבן מיט זיין אריגינעלער אויסוואל, אדער טוישן זיין אויסוואל.

קודם, בקיצור דער פאראדאקס. דער 'פאקט' איז אז ווען דער שפילער טוישט פון זיין אריגינעלער אויסוואל געווינט ער צוויי דריטל מאל בשעת ווען לכאורה ע''פ פשטות איז דאך יעצט (נאכ'ן אוועקנעמען די פראבעביליטי פון איינער פון די טירן) געבליבן א 50-50 טשאנס אויף א יעדער טיר. ווי אזוי קענען מיר ערקלערן אז ס'שטימט מאטעמאטיש און לאגיש דעם אויבן-דערמאנטן 'פאקט'?

דער וויכטיגסטער פונקט וואס איז נוגע פאר דער לעהזונג פונעם פאראדאקס (דאכצעך עס איז נאך נישט דערמאנט דא) איז אז דער האוסט האט 'געוויסט' וועלכע טיר האט די קאר און וועלכע נישט. ואיה''נ, ווען ער מאכט ווען אויף א טיר רענדאמלי וואלטן די שאנסן געווען 50-50.

לאמיר עס צונעמען שטייטליך. לאמיר זאגן אז מען שפילט ווען איבער די זעלבע שפיל הונדערט פופציג מאל (אן דעם חלק פונעם האוסט אויפמאכן די טיר), וואלט יעדער פארשטאנען אז 50 מאל וועט די קאר זיין אונטער טיר איינס, 50 אונטער טיר צוויי, און פופציג אונטער טיר דריי.

יעצט ווען דער שפילער קלויבט ווען אלעמאל טיר איינס וועט ער געווינען 50 מאל, דהיינו איין דריטל מאל. יעצט, ווען דער האוסט עפנט א יעדעס מאל אויף איינס פון די אנדערע טירן, אלעמאל די מיט דעם ציגעלע (ווייל ער ווייסט דאך ווי די קאר ליגט), קומט אויס אז דער האוסט נעמט בידים די פראבעביליטי פון דער געעפנטער טיר און ער לייגט עס אריבער צו דער אנדערער טיר. קומט אויס אז אויב דער שפילער וועט טוישן זיין אויסוואל יעדעס מאל וועט ער געווינען 100 מאל, דהיינו צוויי דריטל.

וממילא קומט דאך אויס אז אפילו ווען מען טוהט דאס שפיל נאר איין מאל זענען די פראבעביליטיס דאפעלט אז ער וועט געווינען אויב ער טוישט טירן. עס איז נישט קיין גאראנטי נאר העכערע שאנסן.

ולפי''ז, אויב האט זיך א טיר געעפענט בטעות, און האט אנטפלעקט א ציגעלע, דאן ווערן די פראבעביליטיס יא 50-50 אויף די איבעריגע טירן.

כ'האף אז איך בין געווען קלאר גענוג. [פארקירצט]

יש לי להוסיף קצת לומדות. כ'בין נישט זיכער דערין עד הסוף, וירקדו החכמים לפנינו.

איינע פון די הסברים וועלכע האבן מיר געכאפט זאגט אזוי:

דו האסט אויסגעקליבן איין טיר, יעצט זענען געבליבן צוויי אנדערע טירן. מאנטי - וועלכער ווייסט וואו די קאר ליגט - וועט פון יענע צוויי עפענען די ליידיגע און וועט דיר געבן די אפציע צו טוישן דיין טיר מיט די דריטע פארבליבענע.

זאגט דער ביאור: מיר דארפן אנקוקן די 3 טירן ווי צוויי גרופעס; איין גרופע איז די איין טיר וועלכע דו האסט אויסגעקליבן, די צווייטע גרופע זענען די פארבליבענע צוויי וועלכע דו האסט אוועקגעווארפן.

וויפיל שאנסן האט גרופע נומער 1? 1 אין 3.

וויפיל שאנסן האט גרופע נומער 2? 2 אין דריי.

זייער פשוט.

יעצט ווען מאנטי - וועלכער ווייסט פונקטליך וואו די קאר ליגט - גייט צו גרופע 2 און ער עפענט בכוונה תחילה די ליידיגע טיר פון צווישן יענע צוויי, איז זייער קלאר אז די גאנצע שאנס פון גרופע נומער צוויי ליגט יעצט אויף די לעצטע פארמאכטע טיר וועלכע מאנטי האט נישט געעפנט.

אין אנדערע ווערטער: די דריטע טיר טראגט יעצט מיט זיך די שאנס פון 2 אין דריי, און דיין טיר וועלכע דו האסט פון אנפאנג אויסגעקליבן - וואס דאס איז גרופע 1 - בלייבט מיט איר אריגינעלער שאנס פון 1 אין 3.

איז אודאי כו"ע מודי אז מען מוז טוישן די סעלעקציע פון דער ערשטער טיר צו דער דריטער. ע"כ ההסבר.

-----------

עס איז אזא געשמאקער הסבר אז ס'האט מיר געמאכט א פראבלעם:

פארוואס זאל דער זעלבער חשבון נישט ארבעטן אפי' ווען מאנטי ווייסט נישט וואו די קאר געפינט זיך?

לאמיר מאכן די זעלבע מעשה:

דו קלויבסט טיר נומער 1. יעצט האמיר צוויי גרופעס; טיר 1 וואס דו האסט גענומען איז גרופע 1, און די צוויי אוועקגעווארפענע [ - דהיינו אז אויב די קאר ליגט דארט באקומסטו עס נישט] זענען גרופע נומער צוויי.

יעצט גייט מאנטי און ער עפענט איינע פון די טירן אין גרופע 2. מאנטי האט 'נישט' געוואוסט וואו די קאר איז, אבער מן השמים האט מען זיך מרחם געווען אויף אים און 'פונקט' האט ער געעפנט א ליידיגע טיר.

קען מען דען נישט זאגן דעם זעלבן חשבון?

גרופע 1 האט איר אריגינעלע שאנס פון 1 אין דריי. גרופע נומער 2 האט געהאט א שאנס פון 2 אין דריי, און יעצט אז איך ווייס וועלכע פון אירע צוויי טירן איז ליידיג [ווייל מאנטי האט עס פונקט געעפנט] האט די לעצטע פארבליבענע טיר די גאנצע צוויי אין דריי שאנס פון דער גרופע, און איך בין אודאי מחויב צו טוישן.

וואט עי פיעס אוו נאנסענס... אבער פארוואס?

------------

דער תירוץ איז אז אה"נ אז דורך דיין קלויבן טיר 1 האבן זיך דא פארמירט צוויי גרופעס, עכ"פ לענין דיין געווינען: גרופע 1 איז אויף דיין זייט, און גרופע צוויי איז קעגן דיר. אבער לענין השאנסן האט דיר קיינער געגעבן די רעכט צו אסאסיאירן טיר 2 צום דריטן און דורך דעם אים געבן א 2 אין 3 שאנס.

טיר 1 קען שרייען מאי חזית? בעיני השכל קען מען דאך אויסשטעלן די גרופעס און זייערע שאנסן כיד הדמיון הטובה עליך. שרייט טיר 1: איך בין פונקט אזא מחותן לענין השאנסים ווי טיר 3. אפשר בין איך גאר דער וואס איז זיך משתף מיט טיר 2 - דהיינו במחשבתך פארעם די גרופעס כזה: טיר 1 און 2 זענען גרופע 1, און טיר 3 איז גרופע 2.

ממילא - זאגט טיר 1 - האט 'מיין' גרופע געהאט א 2 אין 3 שאנס, און יעצט ווען מאנטי האט געעפנט טיר 2 און געזען אז ס'איז ליידיג איז די גאנצע שאנס אריבער צו מיר, און דער שפילער זאל ח"ו נישט טוישן זיין בחירה.

און דאס איז טאקע דער אמת: ווייל מ'קען דמיונ'ען גרופעס אויף סיי וועלכע וועג, ווייל עס איז טאקע נישטא קיין אמת'ע פאקטאר [לענין השאנסים] מכריע צו זיין די גרופעס, איז טאקע יעדער גלייך און איינער קענסעלד אויס דעם צווייטן, ממילא בלייבט יעדע טיר מיט א 1 אין דריי שאנס ווי א נארמאלער מענטש.

-------

ועכשיו לשאלת המיליאן: פארוואס ווען מאנטי ווייסט יא וואו די קאר ליגט פאלט אוועק דער חשבון.

ולפי המבואר איז פשט אז טאקע זיין ידיעה וואו די קאר ליגט, און זיין זיך נעמען בקום ועשה צו די טירן 2 און דריי אויפצועפענען די פון זיי וואו ער ווייסט אז ס'איז ליידיג, דאס איז דער אזוי-געזוכטער פאקטאר וועלכער איז 'באמת' קובע טירן 2 און 3 אלס איין גרופע, און טיר 1 - וואו ער האט נישט קיין רעכט אנצורירן ווייל דו האסט עס דאך אויסגעקליבן - אלס א גרופע פאר זיך.

ממילא איז ריכטיג צו זאגן אז גרופע צוויי האט א שאנס פון 2 אין 3, און גרופע 1 האט נאר א שאנס פון 1 אין 3.

----------

כאמור כ'מיין אז מ'דארף עס נאך אביסל אראפברענגען למטה מעשרה, ואשמח לשמוע.

ונבנתה, דאכט זיך אז מ׳קען אפשר זאגן "הפילוסופיה הארורה הטעתו." 🙂

באמת איז גאנץ פשוט ווען מ׳הייבט אן פונ׳ם אלף: וואס הייסט די מעגליכקייט (טשאנס)? טשאנס הייסט אזוי: מ׳רעכנט צוזאם אלע וועגן וואס קענען מעגליך צוברענגען די ריאליטעט וואס מ׳זעט פאר זיך, און מ׳רעכנט אויס וויפיל פון די וועגן איז עפעס א פאקט אמת. דאס איז דער טשאנס פונ׳ם פאקט.

למשל, איינער שפילט דעם שפיל ניין מאל און קיינער עפענט נישט קיין טיר; דהיינו, ער זעט נאך אלץ דריי פארמאכטע טירן. איז דאך גאנץ פשוט אז אין (בערך) דריי פון די ניין מאל וועט די פרייז זיין אונטער זיין טיר, און זעקס פון ניין מאל וועט עס זיין אונטער די אנדערע טירן. די טשאנס איז א דריטל פאר זיין טיר.

וואס איז אבער אויב אן אנדערער עפענט א ליידיגע טיר (בכוונה) נאכדעם וואס ער האט אויסגעקליבן א טיר? אויב מ׳שפילט די שפיל ניין מאל, וועט אויסקומען אזוי: אין דריי פון די ניין מאל וועט די פרייז זיין אונטער זיין טיר, און זעקס פון די ניין מאל וועט עס זיין אונטער דער אנדערער פארמאכטער טיר (דוק ותשכח). ממילא, ווען מ׳טרעפט זיך אין אזא ריאליטעט, איז טוישן די טיר א בעסערע טשאנס. (זעקס פון ניין מאל, דהיינו צוויי דריטל.)

וואס איז אבער אויב א מן דהוא עפענט אן אנדער ליידיגע טיר שלא בכוונה? דעמאלטס איז אזוי: אויב מ׳שפילט די שפיל ניין מאל, וועט אין דריי פון די ניין מאל אויסקומען אז די אפענע טיר וואס יענער האט געעפנט שלא בכוונה וועט האבן די פרייז! בלייבט איבער נאר זעקס פון ניין מאל וואס איז בכלל מעגליך אנצוקומען צו דעם פאקט אשר עינינו רואות. אין דריי פון די זעקס וועט די פרייז זיין אונטער דער ערשטער טיר, אין די אנדערע דריי וועט עס זיין אונטער דער צווייטער טיר. די טשאנס איז א האלב (דריי פון זעקס).

די מכה בפטיש איז וואס כ׳האב דערמאנט אין אנהויב. וויפיל וועגן איז דא אנצוקומען צו דער ריאליטעט וואס מ׳זעט (צוויי פארמאכטע טירן און איין אפענע טיר אנעם פרייז)? אינ׳ם ערשטן פאל (אויב שפילט מען ניין מאל למשל) איז דא ניין אנדערע אופנים אנצוקומען צו דער ריאליטעט וואס מ׳זעט, אין זעקס פון די ניין וועט די פרייז זיין אונטער דער אנדערער טיר. אינ׳ם צווייטן פאל, ווען די אפענע טיר איז א דבר שאינו מתכוון, איז נאר דא זעקס אופנים (אויב שפילט מען ניין מאל) אנצוקומען צו דער ריאליטעט וואס מ׳זעט, אין דריי פון די זעקס וועט די פרייז זיין אונטער דער אנדערער טיר.

ופשוט הוא. א גמר חתימה טובה.

אה, ענדליך אויפגעוועקט דעם פראפעסאר, א דאנק.

(אייביג געוואוסט אז די הארטע-סייענס'ניקעס קענען נישט פארגינען מיר פילאזאפן...)

דער דין העולה פון דער מונטי הול בעיה איז: ווען דו וועלסט אויס טיהר 1 (למשל) זאגן מיר אז עס איז מסתבר אז עס איז נישט דארט, נאר אין איינע פון די אנדערע צוויי (וזהו פתרון הבעיה על רגל אחד).

די זאך איז נאר, אז כאטש מען באנוצט זיך מיט דעם לשון אז עס ''לוינט זיך'' פאר דעם שחקן צו בוחר זיין צו טוישן, איז דאס נאך אלעמען נישט קיין אביעקטיווער ריווח.

שטעל דיך פאר אז עס זענען דא צוויי שחקנים, ראובן וועלט אויס טיהר 1 און שמעון וועלט אויס טיהר 3, און דער מנחה עפנט אויף טיר 2 און ווייזט דעם חד גדיא, וועלן מיר זאגן פאר ראובן אז עס לוינט זיך אים צו בוחר זיין טיר 3 און פאר שמעון טיר 1?...

וכן: וואס וועט זיין אז אנשטאט אז דער שחקן זאל בוחר זיין אין א געוויסער טיר, וועלן מיר איינלאדענען א פלוג אין זאל, ער זאמזעט ארום און ער לאנדעט אויף טיר 1, וועלן מיר דען זאגן אז עס איז נישט מסתבר אז ער האט פונקט צוגעטראפן די טיר וואס באהאלט דאס אוטא, נאר עס געפינט זיך ווארשיינליך אונטער איינע פון די אנדערע טירן?...

אט א דא שטעקט די טיפקייט און צעמישטקייט פון תורת ההסתברות... [פארקירצט]

רבינו @מי אני, דו האסט געלייקט די תגובה פון @יואליש, וויל איך דיך פרעגן;

אויב דער האוסט פירט זיך צו עפענען איינע פון די צוויי (דוקא איינע פון די צוויי וואס דער שפילער האט נישט אויסגעקליבן) אהן קוקן וואס איז אונטער זיי, וועט טאקע נישט זיין קיין עדיפות צו טוישן?

וואס איז דאס אנדערש פון ווען מען געט א ברירה פאר'ן שפילער צו טוישן פון די טיר וואס ער האט בוחר געווען און אנשטאט דעם נעמען "ביידע" פארבליבענע טירן???

אשמח לעזרתכם, ועזרת כל החכמים דפה

איך האב געזעהן איינעם דאס מסביר זיין אזוי, מיט׳ן טוישן א משהו דעם אריגינעלן פראבלעם דאס ארויסצוברענגען:

אויב זענען דא צוויי שפילערס, דו מיט נאך איינער, דו קלויבסט ערשט איין טיר און דערנאך דער אנדערער שפילער אן אנדערע. סתם אזוי, אויב ביידע ווייסן נישט איז דא 1/3 שאנס פאר דיר און א 1/3 שאנס פאר אים, ופשוט. אויב אבער יענער איז א טשיטער איז האסטו א 1/3 שאנס און יענער א 2/3 שאנס. ווייל אויב האסטו, מיט א 1/3 שאנס, געקלויבט די ריכטיגע טיר, בלייבט יענער לעקיש און קען גארנישט טוהן דערנאך. אויב אבער, מיט א 2/3 שאנס לעומתה, האסטו נישט די ריכטיגע טיר האט דאך יענער גראד אוודאי געקלויבט פאר זיך די ריכטיגע טיר. אין אזא פאל וואו דו ווייסט אז דער צווייטער איז א טשיטער, איז כמובן אז דו ווייסט אויך אז אונטער די טיר וואס קיינער האט נישט געקלויבט איז זיכער נישט דא די קאר - ס׳איז אדער אונטער דיין טיר וואס דו האסט ערשט געקלויבט מיט 1/3 שאנס אדער אונטער דעם טשיטער׳ס טיר מיט א 2/3 שאנס. וממילא אויב קענסטו טוישן מיט׳ן טשיטער וואס דו ווייסט איז א טשיטער און האט דעם 2/3 שאנס, באקומסטו דאך די 2/3 שאנס אנשטאט א 1/3 שאנס.

ביי אונזער פאל מיט׳ן האוסט וואס ווייסט, מיט דעם וואס ער האט געעפענט די לעצטע טיר איז דאס כאילו ער האט געקלויבט פאר זיך די צווייטע טיר. דאס איז די אינפארמאציע וואס איך ווער געוואר אין דעם פראבלעם דורך מאנטי׳ס/דעם האוסט׳ס עפענען די דריטע טיר. און וויבאלד ער ווייסט און איז "א טשיטער", און דו ווייסט אז ער ווייסט [והיינו דו ווייסט אז ער האט א 2/3 שאנס], האט "זיין" טיר א 2/3 שאנס לעומת דיין אריגינעלע 1/3. איז לוינט זיך דיר צו טוישן "מיט אים".

דאס איז משא"כ ווען ער ווייסט פונקט אזוי נישט ווי דו און ווען מען האט געעפענט די לעצטע טיר איז פונקט אזוי געווען א 1/3 שאנס אז עס זאל זיין דארט. און די סאמע איינציגסטע אינפארמאציע וואס דו ווערסט יעצט געוואר איז אז ס׳איז פשוט נישט דארט און נאר אז פשוט דאס ווערט ארויסגענומען פונעם חשבון. און איה"נ אז דו קענסט זאגן אויך דא אז מיט דעם וואס ער האט געעפענט די לעצטע טיר האט ער "געקלויבט פאר זיך" די צווייטע טיר, איז האט ער אבער די זעלבע 1/3 שאנס מעיקרא ווי דו, און אזוי ווי דעם ערשטן פאל מיט צוויי געהעריגע שפילערס. יעצט, נאכ׳ן עפענען די טיר וואו ס׳איז נישט איז עס פשוט געווארן האלב-אויף-האלב.

און איה"נ טאמער עפענט מען נישט קיין איינע פון די טירן און מ׳געבט דיר א ברירה (אן זאגן מער ווי דעם) צו טוישן פון דיין איין טיר צו די צוויי אנדערע טירן, איז עס דאך א 2/3 שאנס קעגן אן 1/3 שאנס; פונקט אזוי ווי קענען קלויבן צוויי טירן קעגן איין טיר בכלל. אבער יעצט, ווען דער האוסט ווייסט אויך נישט, איז עס פשוט יעצט געווארן פון קלייבן פון איינס פון דריי טירן צו איינס פון צוויי טירן; די זעלבע שאנס אזוי צי אזוי. דאס איז די סאמע אינפארמאציע איך בין געוואר געווארן אין אזא פאל וואו דער האוסט ווייסט נישט און האט געעפענט איין טיר וואו עס איז פונקט נישט געווען קיין קאר. יעצט, איז עס די זעלבע ווי זאגן "אדער קלויב די צוגעמאכטע טיר מיט דער אפענער טיר, אדער קלויב דיין טיר מיט א טיר דיינע פונדערהיים"; יענע אפענע טיר איז פשוט ארויסגענומען געווארן פונעם חשבון לגמרי און עס איז יעצט נאר איין רעלעווענט טיר קעגן איין רעלעווענט טיר. דאס איז סך הכל וואס איך בין דאדורך געוואר געווארן אין אזא פאל וואו דער האוסט ווייסט אויך נישט.

ווען אהבת החכמה און אהבת הבריות זענען זיך משתלב... א דאנק אייך @מי אני!

איך האב געליינט די מגילה און איך דארף עס איבערליינען נאכאמאל, אבער מחמת פוילקייט וויל איך דיר קודם פרעגן;

ווען מען געבט א ברירה פאר'ן שפילער צו טוישן און עפענען "ביידע" פארבליבענע טירן, און ער וועהלט דאס טאקע אויס, ער עפנט טיר 2 און טרעפט א ציג, יעצט אויב שטעלט מען אפ און מ'זאגט אים: דו קענסט נאך צוריקטוישן צו טיר 1 - וועט עס טאקע זיין א 50 50 טשענס צווישן 1 מיט 3?

אויב דאס איז דער סך הכל אינפארמאציע וואס ער האט/באקומט, דאן יא. והיינו אז ווי ווייט מיר ווייסן האבן נישט די וואס געבן אים די ברירה א ידיעה אויך נישט, אדער עכ"פ אז עס מאכט גארנישט אויס צי ער קען טוישן; למשל עס איז אויטאמאטיש אזוי די "רולס".

לאמיר דיר עפעס פרעגן;

אויב מען מאכט איבער 100 מאל דעם אריגינעלן מאנטי האל שפיל, ווי דער שפילער וועהלט אויס איין טיר און באקומט דאס וואס איז הינטער איר, איז גערעכט צו זאגן אז בערך 66 מאל וועט דער שפילער נישט צוטרעפן?

יא.

יעצט, בנוגע דעם אריגינעלן שפיל פון דער שאלה/פראבלעם וואו מאנטי ווייסט יא און עפענט [דעריבער] אלעמאל אויף א טיר וואס האט דייקא נישט קיין קאר אונטער זיך און געבט אים יעצט די מעגליכקייט פון טוישן? דעמאלטס וועט דאס נישט נעמען די געגעבענע מעגליכקייט פון טוישן פונקט אזוי גורם זיין א (בערך) 66% פעיל רעיט (ביי 100 מאל). דאס איז די זעלבע און פונקט אזוי ווי ווען מען עפענט אים בכלל נישט אויף אן אנדער טיר; א ממש געהעריגע שפיל. משא"כ יא נעמען די מעגליכקייט און טוישן וועט אים געבן נאר א (בערך) 33% פעיל רעיט (ביי 100 מאל).

נעם טאקע אין אכט אז טאמער ווייסט מאנטי נישט, וועט דאך מאנטי בערך 33 מאל אליין עפענען די/א טיר (במקרה ובטעות) וואס האט אונטער זיך א קאר, וואו די גאנצע שפיל ושאלה [מעגליכקייט צו טוישן] הייבט זיך ניטאמאל אן. און פון די איבעריגע (בערך) 66 מאל וואו ער האט יא די מעגליכקייט צו טוישן וועט ער נאר מצליח זיין (בערך) 33 מאל טאמער טוישט ער נישט - האלב.

👍 👍 👍

יעעעצט פארשטיי איך!

א הערצליכן דאנק!

שכוח אייך אלע פאר'ן ארויפברענגן אזעלכע שיינע באלערנדע אשכולות!

Sent from my KFDOWI using Tapatalk