דער האטעל וואס האט אלעמאל א פלאץ

ווען דער ביזנעסמאן דוד הילבערט האט געעפנט די טויערן פון זיין "ענדלאזן האטעל", האט ער זיך אליין נישט פארגעשטעלט ווי סוקסעספול עס וועט זיין. די שמועה איבער'ן נייעם האטעל איז געלאפן מיט ליכט-שנעלקייט פון מויל צו אויער, און אין דער ערשטער נאכט איז ער באפאלן געווארן מיט אן ענדלאזער צאל טוריסטן ביי דער שוועל. עס איז נישט קלאר וויאזוי עס איז געלונגען אויפצונעמען אזויפיל מענטשן אין אזא קורצער צייט, אבער א פאקט: דער ערשטער גאסט האט באקומען רום נומער 1, דער צווייטער רום נומער 2, דער דריטער רום נומער 3, און אזוי ווייטער – יעדער גאסט נומער x האט באקומען רום נומער x, עד אין סוף.

נאכ'ן פארדינען אזויפיל געלט אין איין נאכט, האט זיך אונזער ביזנעסמאן שוין געקענט ערלויבן צו שמייכלען. אבער דעמאלט איז געשען א מורא'דיגע זאך: עס איז אנגעקומען נאך איין גאסט. אוי וויי! וואס טוהט מען? וואו לייגט מען אים?

הילבערט האט זיך נישט געקענט ערלויבן אים אהיימצושיקן: ער האט געוואוסט אז דער גאסט וועט אים באשמוצן אין אלע ווינקלען, און די גאנצע מולטי-מיליאן ביזנעס וועט אונטערגיין אין איין נאכט. איז ער אויפגעקומען מיט א בריליאנטן געדאנק: מ'וועט שיקן דעם ערשטן גאסט צום צווייטן רום; אבער מ'קען דאך נישט צוזאמשטופן צוויי געסט אין איין רום, דעריבער וועט דער צווייטער גאסט גיין צום דריטן רום, און אזוי ווייטער – יעדער גאסט נומער x גייט צו רום נומער x+1. און ווייל דאס איז אן ענדלאזער האטעל, איז דא פלאץ פאר יעדן – און רום נומער 1 איז פריי פאר'ן נייעם גאסט.

א שיינע מעשה? יא. אבער דא רעדן מיר נישט פון א ביזנעסמאן, נאר פון א דייטשן מאטעמאטיקער וואס איז מיט זיין כח הדמיון אויפגעקומען מיט אט דעם געדאנק. ער האט טאקע געהייסן דוד הילבערט, ער האט געלעבט אין סוף פונעם 19טן יארהונדערט און אנפאנג פונעם 20סטן, און ער האט געהאט א שטארקע השפעה אויף דער אנטוויקלונג פון מאטעמאטיק אין יענע צייטן.

וואס איז "ענדלאז"?

לאמיר קודם זאגן וואס עס איז נישט. מיר קענען דעם מושג "אינסוף" פון ספרי חסידות און קבלה, אדער פון פילאזאפיע, וואו מ'רעדט בשבחו של מקום: "העכער פון אלעס", "שטערקער פון אלעס". דא, לענייננו, מיינען מיר נישט מער ווי אז עס האט נישט קיין סוף – און דאס מאכט עס נאך נישט העכער פון אנדערע זאכן (כל זמן די אנדערע זענען אויך ענדלאז).

דער מוח האט ליב צו באטראכטן אינפיניטי ווי א ריזיגער נומער, אבער דער אמת איז אז עס איז בכלל נישט קיין נומער; עס איז א קאנצעפט. ווען מיר האבן אינסוף עפל, וויפיל דו וועסט נאר נעמען דערפון, וועל איך נאך אלץ בלייבן מיט אינסוף עפל. אין קאווע-שטיבליש: דאס איז די צאל "לייקס" וואס א מעמבער קען געבן, ווייל די אדמיניסטראטארן האבן (ביז דערווייל) נישט באשטימט קיין גרעניץ.

די חכמה פון מאטעמאטיק איז צו נעמען אט דעם אינסוף – א שרעקעדיגע באשעפעניש וואס די גרויסע חכמים פון אמאל האבן געציטערט אים צו פארן – אים אנכאפן ביים קארק, און זיך שפילן מיט אים ווי ער וואלט געווען א געווענליכער נומער.

א באס מיט אן ענדלאזער צאל זיצן

ביקשו צדיקים לישב בשלוה: פלוצלינג ווערט א מהומה אינעם הויפט-אפיס פונעם האטעל. עס איז אנגעקומען א באס פול מיט פאסאזשירן – אבער נישט סתם א באס, נאר א באס מיט אן ענדלאזער צאל זיץ-פלעצער. איינער זיצט אין זיץ נומער 1, דער צווייטער אין זיץ נומער 2, און אזוי ווייטער עד אין סוף. וואס טוהט מען מיט אזא באס? מ'לויפט צו הילבערט'ן: אין הבור מתמלא מחוליתו!

אבער ער איז אויפגעקומען מיט א פשוטער עצה. ווייל מיר האלטן ביי אינסוף, קען מען רואיגערהייט בעטן יעדן גאסט וואס איז שוין אינעם האטעל, ער זאל אריבערגיין אין דעם רום וואס איז צוויי מאל אזוי גרויס ווי זיין יעצטיגער נומער: גאסט נומער 1 גייט צו רום 2, גאסט נומער 2 צו רום 4, גאסט נומער 3 צו רום 6, און אזוי ווייטער.

יעצט זענען אלע גראדע נומערן פארנומען, און אלע אומגראדע נומערן זענען ליידיג – און זיי זענען אויך ענדלאז! פאסאזשיר נומער 1 גייט אין רום 1, פאסאזשיר נומער 2 אין רום 3, און בכלל: פאסאזשיר נומער x גייט אין רום נומער 2x-1. אזוי קען זיך קיינער נישט אפרעדן אז ער האט נישט קיין פלאץ.

וויאזוי ווייז איך דאס אויף? איך פרעג דעם פאסאזשיר וואס איז זיין זיץ-נומער; איך טאפל דעם נומער און נעם אראפ איינס. דער רעזולטאט איז אן אומגראדער נומער, איז ווייס איך פאר זיכער אז קיינער פון די פריערדיגע געסט איז מער נישט דארט; און ווייל דער רעזולטאט קען קומען נאר פון איין איינציגן זיץ-נומער, ווייס איך אז דער רום איז ליידיג און גרייט פאר אים.

אן ענדלאזע צאל באסן

אבער יעצט ווערט דער פראבלעם נאך אסאך מער קאמפליצירט: עס קומען אן ענדלאזע באסן, יעדער מיט ענדלאזע פאסאזשירן, פשוטו כמשמעו. די איינגעשטעלטע זענען זיכער אז יעצט וועט מען מוזן אויפגעבן. אבער הילבערט קנייטשט דעם שטערן, און – אהא!

קודם מאכט מען סדר: באס נומער 1, באס נומער 2, באס נומער 3, און אזוי ווייטער; יעדער פאסאזשיר ווערט אידענטיפיצירט מיט צוויי נומערן: וועלכער באס, און וועלכער זיץ. דערנאך נוצט מען צוויי פאקטן: (1) עס זענען דא אן ענדלאזע צאל פריים-נומערן (נומערן וואס לאזן זיך נישט צעטיילן); (2) א פריים-נומער געהעכערט צו א געוויסער מדרגה (2, 2×2, 2×2×2...) וועט קיינמאל נישט זיין גלייך צו אן אנדער פריים-נומער'ס מדרגה.

אויב אזוי, שיקט מען דעם ערשטן פאסאזשיר פונעם ערשטן באס צו רום 2, דעם צווייטן צו רום 4, דעם דריטן צו רום 8, און אזוי ווייטער. דעם צווייטן באס שיקט מען צום צווייטן פריים-נומער, 3: רום 3, רום 9, רום 27... און אזוי יעדער באס מיט זיין אייגענעם פריים-נומער. ענדלאזע באסן? עס זענען דאך דא ענדלאזע פריים-נומערן! (טראכט אליין איבער פארוואס קיין איין רום ווערט נישט גענוצט פאר צוויי געסט.) פראבלעם געלייזט – און עס בלייבן אפילו נאך ענדלאזע ליידיגע רומס, למשל 6, 10, 15...

דער באס וואס איז נישט אריינגעגאנגען

שפעט ביינאכט הערט מען א גערודער אינדרויסן: עס איז אנגעקומען איין ריזיגער לאנגער באס, און יעדער זיץ דארט ווערט אידענטיפיצירט מיט אן ענדלאזן נומער, למשל ...1111111. הילבערט גייט אריין, ליינט די נומערן – און הייבט אויף די הענט מיט יאוש: פאר די געסט האט ער שוין נישט קיין פלאץ.

פארוואס? דאס, האט דער שרייבער צוגעזאגט, "וועט קומען אין א המשך'דיגן ארטיקל". דער ענטפער איז איינע פון די וואונדערליכסטע אנטדעקונגען אין מאטעמאטיק: עס זענען דא פארשידענע "גרייסן" פון אינסוף, און דער לעצטער באס איז פשוט א גרעסערער אינסוף ווי דער האטעל.