וויאזוי א שפאציר-רעטעניש האט געבוירן א ניי פעלד אין מאטעמאטיק
דער טייך פרעגעל לויפט דורך דער שטאט קעניגסבערג (היינט קאלינינגראד), און צעטיילט די שטאט אין צוויי אינזלען, וממילא אין פיר שטיקער לאנד. דאס אלעס האבן אין 1736 פארבונדן זיבן בריקן.
דער בירגערמייסטער פון דער שטאט דאנציג, עהלער, וואס איז געווען א שטיקל מאטעמאטיקער, איז געווען נייגעריג צי מ'קען מאכן א שפאציר וואו מ'גייט דורך יעדע בריק, אן אריבערגיין קיין בריק צוויי מאל. (און פארשטייט זיך אז מ'מוז נוצן די בריקן אנצוקומען צו די שטיקער לאנד, און מ'שטעלט זיך נישט אפ אינמיטן א בריק.) ער האט געשיקט די פראגע צום בארימטן מאטעמאטיקער לעאנהארד אוילער.
צום ערשט האט אוילער נישט געהאלטן אז דאס האט אזוי ווייט צו טוהן מיט מאטעמאטיק. דערנאך האט ער אבער אריינגעקלערט אז דאס האט יא א שייכות מיט געאמעטריע, וואס ער האט גערופן די געאמעטריע "פון פאזיציע". ער האט באמערקט אז די איינציגע זאך וואס איז דא נוגע זענען די בריקן. ולא זו בלבד, נאר אפילו די פלעצער וואו די שטיקער לאנד ליגן זענען בעצם אויך נישט רעלעוואנט.
דהיינו: יעדעס שטיק לאנד ווערט גערעכנט ווי איין "נויד" (ווערטעקס) – א פונקט; און די בריקן זענען ליניעס וואס פארבינדן איין פונקט מיט'ן אנדערן. אין אזא פאל קען מען אפילו אויסשטעלן די פונקטן אין א גראדער שורה, נאר מ'מאכט ליניעס פון איין פונקט צום אנדערן לויט וויפיל בריקן פארבינדן זיי. למשל, דאס מיטלסטע שטיק לאנד גייט האבן פינף ליניעס וואס קומען ארויס דערפון. ווען מ'רעכנט נאר פונקטן און ליניעס, רופט זיך דאס א "גרעף".
דערנאך האט ער איינגעזען: אויב איינער גייט צו א פונקט דורך א בריק, מוז ער דאך ארויסקומען פון דארט, און דאס קען נאר זיין דורך אן אנדער בריק. עס מוז דארט זיין א גראדע צאל בריקן. די איינציגע יוצאים מן הכלל זענען די פונקטן וואו מ'הייבט אן און וואו מ'ענדיגט. פון דעם קומט ארויס אז נאר צוויי פונקטן קענען האבן אן אומגראדע צאל ליניעס וואס קומען ארויס דערפון.
העולה מכל זה: אויב מ'וויל וויסן מעיקרא צי מ'וועט קענען מאכן אזא וועג, וואו מ'גייט דורך יעדע ליניע נאר איינמאל, מוזן אדער אלע פונקטן האבן א גראדע צאל ליניעס, אדער נאר פונקטליך צוויי פון זיי האבן אן אומגראדע צאל (און די איבריגע א גראדע). די צוויי אומגראדע פונקטן וועלן זיין וואו מ'הייבט אן און וואו מ'ענדיגט; און אויב אלע זענען גראד, ענדיגט מען בעצם דארט וואו מ'האט אנגעהויבן (אן "אוילער-קרייז").
אין קעניגסבערג האבן אלע פיר פונקטן אן אומגראדע צאל בריקן (3, 3, 3 און 5). דעריבער איז דארט נישטא קיין אוילער-וועג, און עס איז נישט מעגליך אריבערצוגיין אלע בריקן אן נוצן איין בריק צוויי מאל.
בשעת'ן צווייטן וועלט-קריג זענען צוויי פון די בריקן חרוב געווארן פון באמבארדירונגען. דערמיט איז געווארן אז נאר צוויי פון די פונקטן האבן געהאט דריי בריקן (אן אומגראדע צאל), און די אנדערע צוויי האבן געהאט צוויי בריקן (א גראדע צאל), וממילא איז דעמאלט יא געווארן מעגליך אריבערצוגיין אלע בריקן אן אריבערגיין איינע צוויי מאל.
דאס קען מען נוצן ביי די סארט חידות וואו מ'גיט א פארעם און מ'פרעגט צי מ'קען מיט א פען אריבערגיין גאנץ די פארעם אן אויפהייבן די פען און אן אריבערגיין א ליניע צוויי מאל. דאס רופט זיך אן "אוילער-וועג", על שמו. דער פריער דערמאנטער כלל זאגט צי ס'איז בכלל שייך.
פון דעם איז ארויסגעוואקסן א ניי פעלד אין מאטעמאטיק: גרעף-טעאריע.
יישר כח פאר'ן נעמען די מיה אונז צו געבן א טעימה פון גרעף-טעאריע. דאס איז זייער נוגע אין אסאך תחומים פון לעבן, און צומאל אין אומגעריכטע סיטואציעס. א גרעף קען גענוצט ווערן צו באשרייבן א מאדעל פון א געוויסן פראבלעם; עס ווערט אפט גענוצט אין קאמפיוטער-סייענס, אין פיזיק און כעמיע, און אפילו אין סאציאלע שטודיעס.
א באקאנטער נושא אין גרעף-טעאריע איז דער "טרעוועלינג סעילסמאן פראבלעם". ער פרעגט: א מענטש וואס דארף ארומגיין צו אפאר שטעט ("פונקטן") – וואס איז דער קורצסטער וועג אויף וועלכן ער קען דאס מאכן? דאס איז ענליך צו דער פראגע וואס מאטערט מוסדות יערליך: וויאזוי צו מאכן דעם שנעלסטן באס-רוט...
דאס איז א דוגמא פון א שאלה וואס מ'קען גרינג נאכקוקן איר ענטפער לאחר מעשה, אבער ס'איז אסאך שווערער אויפצוקומען מיט אן אלגאריטם, מעיקרא דאס צו לייזן. אן אינטערעסאנטע זאך: די אויבנאויפיגע סברא – פונעם פונקט וואו מ'הייבט אן זאל מען גיין צום נאנטסטן פונקט, און פון דארט צום נאנטסטן פונקט, און אזוי ווייטער – גיט בדרך כלל נישט דעם קורצסטן וועג, ובפרט טאמער דארף מען צוריקקומען צו וואו מ'האט אנגעהויבן.
נאך אן אינטערעסאנטע זאך וואס האט א שייכות מיט גרעף-טעאריע איז די "פיר-קאליר טעארעם". זי לויטעט אז אויף א (נארמאלער, גראדער) פאפיר וואס איז צעטיילט אין אסאך פארעמס, וואס זייערע ווענט רירן זיך אן, וועט מען קיינמאל נישט דארפן מער ווי פיר קאלירן זיי אלע אויסצופארבן, אזוי אז קיין שום פארעם זאל נישט האבן דעם זעלבן קאליר ווי איינע פון די ארומיגע פארעמס מיט וועלכע זי טיילט א וואנט (נישט נאר אן עק).
(אז מ'דארף נישט מער ווי פינף קאלירן, האט מען געוואוסט אסאך פריער. אז מ'דארף נישט מער ווי פיר, איז שווערער אויפצואווייזן.)
א מעשה וואס איז שייך צו דער פיר-קאליר טעארעם: מ'האט זי אויפגעוויזן מיט א קאמפיוטער, אנשטאט אויפ'ן געווענליכן וועג. דזשאן הארגען, א סייענס-זשורנאליסט, האט געשריבן אן ארטיקל "דער טויט פונעם באווייז", אין וועלכן ער טענה'ט אז מאטעמאטיק האט דערגרייכט א פונקט וואו מ'וועט שוין נאר נוצן קאמפיוטערס צו באשטעטיגן מאטעמאטישע השערות, און דער אלטער וועג וועט ווערן אויסגעשפילט. די מאטעמאטיקער זענען געווען באליידיגט.
שפעטער האבן קאמפיוטער-מאדעלן געוויזן אז א געוויסער סארט "מינימאלע אויבערפלאך" קען עקזיסטירן, אבער די מאטעמאטיקער זענען געווען שטארק סקעפטיש. האבן זיי עס גערופן א "הארגען-אויבערפלאך", על שמו פונעם זשורנאליסט. צום סוף האבן זיי געהאט זייער נקמה: זיי האבן אויפגעוויזן, ווי עס דארף צו זיין, אז אזא אויבערפלאך עקזיסטירט טאקע נישט – און זיי האבן עס אנגעהויבן רופן א "נישט-הארגען אויבערפלאך".